次鞅(submartingale，一般通用翻译是下鞅)是半鞅(semimartingale)的一种，还有一种是上鞅(supermartingale)。鞅的定义是未来过程的期望等于当前过程。下鞅是未来过程期望大于当前过程，上鞅是小于。
而资本市场长期来看是上升的，所以广义的假定下，认为是个下鞅。感觉下鞅的定义其实比较弱，前提大概就只需要地球不毁灭大家认真工作吧。
鞅
在等价鞅测度变换后资产的折现过程才是鞅。
股价如果服从GBM，dS = S(alpha*dt + sigma * dW)这alpha如果不等于0肯定不是个鞅啊。换个角度想 这东西解出来是St = S0 * exp{(alpha - 0.5*sigma^2)*t + sigma* Wt}根据lognormal的性质，也可知道E[St] = S0 * exp{alpha}可见当且仅当alpha = 0 的时候St才是个鞅。那当股价期望收益率alpha>0的时候就是个submartingale了。
说白了，这个模型里，体现出来股价期望收益为正，那么就应有个雄赳赳气昂昂向上的趋势。
2019-07-30 
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