为了确定具有扩张灵活性的项目价值，在决策树的每一个节点使用复制的证券组合，从后往前计算。我们可以使用N单位的标的项目和B单位的面值为1美元的无风险债券，复制扩张期权的回报：
期权的回报
求解这个方程组，我们得到N=1.2，B=-14.3。因此，复制的证券组合包括1.2单位的无灵活性的项目（在该节点价值为100美元），加上14.3单位面值为1美元债券的空头头寸。如图20.9所示，期权的价值是：
期权的价值
从右向左依次计算各个节点，我们得到具有扩张期权项目的现值为108.4美元。这样，项目的净现值从-5美元上升到3.4美元，因此期权的价值为8.4美元。
图20.10决策树：放弃工厂的期权
如果反过来，管理者拥有在任何时点以100美元的固定价格卖掉工厂的期权，期权的价格计算将如图20.10所示。同样，从决策树的右边向左边计算。对于用深色突出的节点，工厂的价值在上枝为116.2美元，在下枝为86.1美元。由于拥有放弃期权，公司将在下枝按照100美元的价格放弃该项目，因此决策树的回报在上枝为116.2美元，在下枝为100美元。使用风险中性估价方法，该节点上具有放弃期权项目的价值为104.9美元，如图20.10所示（复制的证券组合也将得到完全相同的结果）。从后往前计算，具有放弃期权工厂的价值为106.4美元。
图20.11决策树：放弃或扩张工厂的期权
多种灵活性能用一个决策树来表示，在图20.11中使用风险中性估值方法说明了这一点。包括放弃和扩张期权的项目价值将是113.5美元，而没有灵活性情况下则为100美元。考虑到这些期权，正确的决策应当是接受该项目。包括扩张—放弃灵活性的复合期权的价值是13.5美元，比两个期权价值的总和要少（8.4美元+6.4美元=14.8美元），但比其中任何一个都要多。两个期权的价值是不可加的，因为它们相互作用的方式很复杂（例如，只要你放弃了该工厂，就不能再扩建它）。
2019-07-30 
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